八年级数学下知识点总结
函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，
这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果y61501;kx61483;b（k，b是常数，k61625;0），那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数y61501;kx61483;b中的b为0时，y61501;kx（k为常数，k61625;0）这时，y叫做x的正比例函数。2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线。
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数y61501;kx61483;b的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数y61501;kx的图像是经过原点（0，0）的直线。（如下图）
4.正比例函数的性质
一般地，正比例函数y61501;kx有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k0时，y随x的增大而增大（2）当k0
图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。
k>0
b0
图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小
K<0
b<0
图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。
注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
四边形
1．四边形的内角和与外角和定理：
（1）四边形的内角和等于360°；
（2）四边形的外角和等于360°.
2．多边形的内角和与外角和定理：
（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°.
3．平行四边形的性质：
（61676;1）两组对边分别平行；
61679;
（
61679;2）两组对边分别相等；
61679;
因为ABCD是平行四边形61662;（61677;3）两组对角分别相等；
（61679;4）对角线互相平分；
61679;
（61679;
61678;5）邻角互补.
D
O
C
A
D
B
C
A4
D
3
2
C
1
B
A
B
4.平行四边形的判定：
（1）两组对边分别平行61692;
61679;
（2）两组对边分别相等61679;
61679;
（3）两组对角分别相等61693;ABCD是平行四边形.
（4）一组对边平行且相等61679;
61679;
61679;
（5）对角线互相平分61694;
D
O
C
A
B
5.矩形的性质：
D
C
（61676;1）具有平行四边形的所有通性;
因为ABCD是矩形61662;（61679;61677;2）四个角都是直角;
（61679;61678;3）对角线相等.
6.矩形的判定：
O
A
D
B
C
A
B
D
C
（1）平行四边形61483;一个直角61692;
61679;
（2）三个角都是直角61693;61662;四边形ABCD是矩形.
（3）对角线相等的平行四边形61694;61679;O
A
D
B
C
A
B
7．菱形的性质：
因为ABCD是菱形
D
（61676;1）具有平行四边形的所有通性；
61679;
61662;（61677;2）四个边都相等；
（61679;61678;3）对角线垂直且平分对角.
8．菱形的判定：
A
O
C
B
D
（1）平行四边形61483;一组邻边等61692;
61679;
（2）四个边都相等61693;61662;四边形四边形ABCD是菱形.
（3）对角线垂直的平行四边形61694;61679;
A
O
C
B
9．正方形的性质：
因为ABCD是正方形
（61676;1）具有平行四边形的所有通性；
61679;
61662;（61677;2）四个边都相等，四个角都是直角；
（61679;61678;3）对角线相等垂直且平分对角.
D
C
D
C
O
（1）
10．正方形的判定：
A
B
A
B（2）（3）
（1）平行四边形61483;一组邻边等61483;一个直角61692;
61679;
（2）菱形61483;一个直角61693;61662;四边形ABCD是正方形.
61679;
（3）矩形61483;一组邻边等61694;
(3)∵ABCD是矩形
D
C
又∵AD=AB
∴四边形ABCD是正方形
A
B
11．等腰梯形的性质：
（61676;1）两底平行，两腰相等；
61679;
因为ABCD是等腰梯形61662;（61677;2）同一底上的底角相等；
（61679;61678;3）对角线相等.
A
O
B
C
D
12．等腰梯形的判定：
61692;
61679;
（2）梯形61483;底角相等61693;61662;四边形ABCD是等腰梯形
（3）梯形61483;对角线相等61694;61679;
（1）梯形61483;两腰相等
D
A
(3)∵ABCD是梯形且AD∥BC
∵AC=BD
O
∴ABCD四边形是等腰梯形
C
B
14．三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且
等于它的一半.
15．梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等
于两底和的一半.
D
A
E
C
BD
E
C
F
B
A
一基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四
边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，
三角形中位线，梯形中位线.
二定理：中心对称的有关定理
※1．关于中心对称的两个图形是全等形.
※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于
这一点对称.
三公式：
1
ab=ch.（a、b为菱形的对角线,c为菱形的边长，h为c边上的高）
2
2．S平行四边形=ah.a为平行四边形的边，h为a上的高）
1．S菱形=
3．S梯形=
四常识：
n(n61485;3)矩菱
方形
※1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：.形
形
2
2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.
平行四边形
3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯
形……；仅是中心对称图形的有：平行四边形……；是双对称图形的有：线段、矩形、
菱形、正方形、正偶边形、圆…….注意：线段有两条对称轴.
正
1
（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）
2
※5．梯形中常见的辅助线：
A
D
A
D
A
D
A
D
中点
BEFCB
E
中点
B
E
CBCCF
E
A
D
A
D
E
A
D
F
AFD
E
中点
B
CEBCB
中点
CBGC
※
平移与旋转
旋转
1.旋转的定义：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
2.旋转的性质：
旋转后得到的图形与原图形之间有：对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等。
中心对称
1.中心对称的定义：
如果一个图形绕某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么这两个图形叫做中心对称。
2.中心对称图形的定义：
如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形。
3.中心对称的性质：
在中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。
轴对称
1.轴对称的定义：
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对
称图形，这条直线叫做对称轴。
2.轴对称图形的性质：
①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
③等腰三角形的“三线合一”。
3.轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。
图形变换
图形变换的定义：图形的平移、旋转、和轴对称统称为图形变换。
一元二次方程
1、一元二次方程：
①概念：只含有一个未知数，且可以化为ax61483;bx61483;c61501;0（a,b,c为常数，且a61625;0）的整式方程叫做一元二次方程。
2
ax261483;bx61483;c61501;0是一元二次方程的一般形式。其中，ax2、bx、c分别叫做一元二次方程的二次项、一次项、常数项；a、b分别叫做一元二次方程的二次项、一次项的系数。（强调：项和系数要包括前面的符号）
构成一元二次方程的条件：（1）整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）二次项系数不能为
0；（4）未知数的最高次数为2.
②注意事项：
（1）二次项系数a61625;0是一般形式的重要组成部分。（2）二次项、一次项和常数项都是在一般形式下定义的，判断各项系数时，必须先将方程
方程化为一般形式。
（3）任何一个一元二次方程均可经过整理（去括号、移项、合并同类项）均可化为一般形
式。
2、一元二次方程的解法
⑴直接开平方法解一元二次方程：
①如x61501;m(m61619;0)的方程都可以用开平方的方法求出它的解，这种解法叫做直接开平方法②利用直接开平方法所解的一元二次方程的结构特点：经过整理、变形后得到等号左边是一
个完全平方式，右边是一个非负数；
③理解直接开平方法的理论依据是平方根的定义。
⑵用配方解一元二次方程：
①把一个二次三项式组成完全平方式的变形过程，叫做配方，用配方法求一元二次方程的解
的方法叫做配方法。
②配方法解一元二次方程是以配方为手段，以直接开平方为基础的一种解一元二次方程的基
本方法。
③用配方法解一元二次方程的步骤：
㈠二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
㈡移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
㈢配方：方成左右两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程左边变成一个完全平方式，
右边是一个常数；
㈣求解：如果右边常数是非负数，就用直接开平方法解一元二次方程。
2
⑶用公式法解一元二次方程：
61485;b61617;b261485;4ac①方程ax61483;bx61483;c61501;0(a61625;0)的求根公式：x61501;(b261485;4ac61619;0)，利用2a
2
求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
②利用求根公式解一元二次方程的步骤：
㈠把方程整理为一般形式ax61483;bx61483;c61501;0(a61625;0)，确定a,b,c的值；
㈡计算b61485;4ac的值；
㈢当b61485;4ac61619;0时，把a,b和b61485;4ac的值代入求根公式计算，从而求出方程的解。③求根公式专指一元二次方程的求根公式，只有确定方程是一元二次方程时，才可以使用
④公式法是解一元二次方程ax61483;bx61483;c61501;0(a61625;0)的一般解法⑷用因式分解法解一元二次方程
①利用因式分解的方法求出一元二次方程的解，这种解方程的方法叫因式分解法
②因式分解法的理论依据：两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于零，即
A8226;B61501;061659;A61501;0或B61501;0。
③用因式分解法所解的一元二次方程的结构特点：等号一边的代数式可以做因式分解，另一
边为0.
④利用因式分解法解一元二次方程的步骤：
㈠将方程的右边化为一；
㈡将方程的左边分解为两个一次因式乘积的形式；
㈢令两个因式分别为0，得到两个一元一次方程；
㈣分别解两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
3、一元二次方程解法的顺序：
先特殊，后一般，先考虑是否用直接开平方法和因式分解法解，不能用这两种方法时，再用
公式法和配方法。当二次项系数为一，一次项系数为偶数时，用配方法方便。
4、根的判别式
把b61485;4ac叫做一元二次根的判别式，记作△=b61485;4ac，ax61483;bx61483;c61501;61501;0(a61625;0)，
若方程有两个不相等的实数根61659;△＞0；
有两个相等的实数根△=0
没有实数根△＜0
有两个实数根△61619;0（此时两根可能等，也可能不等）。
5、一元二次方程的应用
列方程解应用题，应透彻理解题意，寻找等量关系。
列方程时，要注意列出的方程必须满足以下三个条件：
⑴方程左右两边表示同类量；
⑵方程左右两边的同类量的单位一样；
⑶方程两边的数值相等。
※增长率问题公式
2
2
2
2
2
2
2
2
增长后的数=基数（1+增长率）n（n指增长的次数）降低后的数=基数（1-增长率）n（n指降低的次数）※长方体、正方体体积公式
V
长方体
61501;长61620;宽61620;高
3
V
正方体
61501;（边长）
※根据题的实际意义对方程的根进行取舍。
方差与频数分布
知识框架图
数
据极差
的方差用计算器计算
波
动标准差比较事物的有关性质
方用样本估计总体的有关特征
差
频数
与
数
频率
频
据
数
的
分
分
布布频数分布表
频数分布图
数据的波动
一、极差
1、一组数据中的最大值减去最小值所得的差，叫做这组数据的极差；
2、极差=数据中的最大值—数据中的最小值。
二、方差
1、在一组数据x
1
,x
2,
,x
3
,61515;,x
n
中，各数据与他们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这
组数据的方差，常用s来表示，即：s61501;2、方差的三种公式：
2
1
(x
1
61485;x)261483;(x
2
61485;x)261483;61515;61483;(x
n
61485;x)2;
n1
2
2
2
2
化简公式：s61501;(x2
1
61483;x
2
61483;61515;x
n
)61485;nx
n
1
2
2
2
2
化简公式的变形公式：s61501;(x2
1
61483;x
2
61483;61515;x
n
)61485;x
n
基本公式：s261501;
2
1
(x
1
61485;x)261483;(x
2
61485;x)261483;61515;61483;(x
n
61485;x)2;
n
3、设化简后的新数据组x
1
,x
2
,61515;x
n
的方差为s',设x
1
,x
2,
,x
3
,61515;,x
n
的方差为s（其中
'
'
x，则s61501;s2；
i
61501;x
i
61485;a,i61501;1,2,61515;n,a为常数）2
'
'
'
2
2
4、方差的作用：用于表述一组数据波动的大小，方差越小，该数据波动越小，越稳定。
三、标准差
1、方差的算数平方根61555;叫做这组数据的标准差，即：
61555;61501;
161480;x
1
61485;x61481;261483;61480;x
2
61485;x61481;261483;61515;61480;x
n
61485;x61481;2；
n
61531;
61533;
2、标准差用于描述一组数据波动的大小；
3、标准差的单位与原数据的单位相同。
四、方差与标准差的关系
1、61555;61501;s2；
2
2、61555;与s的作用相同、单位不同。
五、频数分布与频数分布图
1、数据的分组整理
组限、组距和组数：
把一套数据分成若干个小组，累计各小组的数据个数。期中每个分数段是一个“组
区间”，分数段两端的数值是“组限”，分数段的最大值与最小值的差是“组距”，
分数段的个数是组数”.
2、频数、频率与频数分布表、频数分布图
①每个小组的数据的个称为这组数据的频数；
②频率：每个小组的频数与数据总个数的比值称为这组的频率；
③频率的计算公式：
每组的频率=这组的频数/数据的总个数
④各小组的频数之和等于数据总数；各小组的频数之和等于1.